‘Formules schrikken soms af, en dat is zonde’, vertelt natuurkundige Ivo van Vulpen. ‘Er staan hier in Leiden ook gedichten op de muren in moeilijke talen als Japans of Georgisch. Iemand heeft nagedacht over de wereld, en dat op een prikkelende manier opgeschreven. In wezen doen natuurkundigen hetzelfde. Ter vergelijking: als je zo’n gedicht alleen maar vertaalt, dan ben je er nog steeds niet. Wie was de schrijver, waarom kiest hij nou juist deze bewoordingen? Met de formules is het ook zo. Wat staat er nou, en wat betekent dat?'
Hij vervolgt: 'Neem nou die brekingsformule van Snellius. Iedereen ziet zelf ook wel dat een rietje in een glas water een knik maakt. Als je wilt gaan rekenen aan die knik, wordt het al heel gauw ingewikkeld, maar daar kunnen wij ook niks aan doen.’
Van Vulpen en zijn collega Sense Jan van der Molen zijn sinds 2014 bezig om natuurkundige formules op de Leidse muren te krijgen, in aanvulling op de gedichten. Van der Molen: ‘We hebben formules voor verschillende lagen van begrip. Die formule van Snellius uit 1621 is beschrijvend: over wat er echt gebeurt met het licht, zegt hij niets. Pas als je weet wat licht nou eigenlijk is – en dat begrip kwam pas echt in de twintigste eeuw - ga je begrijpen waaróm de breking zo werkt. De veldvergelijking van Einstein, onze eerste muurformule, is juist het tegenovergestelde. Het is echt de laatste stap in zo’n proces. Einstein realiseerde zich dat de formules van Newton niet de diepste fysica zijn. De constanten van Oort zijn bruikbaar om iets uit te rekenen: hoe bewegen sterrenstelsels? Je denkt niet zo vaak na over de plaats van de mens in het heelal, maar als deze formules ervoor zorgen dat een gedeelte van de voorbijgangers dat wel even doet, is het al heel wat.’
Razend enthousiast
Van Vulpen: ‘Toen we Ben Walenkamp en Jan-Willem Bruins, de mensen achter de muurgedichten, uit hadden gelegd wat er nou echt te zien was in zo’n formule, waren ze razend enthousiast. Je neemt mensen echt even mee naar een andere wereld.’
Hij vervolgt: ‘Die muren komen niet vanzelf. Eerst dachten we: we gaan het zelf doen. We belden aan op het Rapenburg. Die mensen waren enorm geschrokken dat er ineens in het donker twee onbekende mannen op de stoep stonden. Zo pakken we het dus niet meer aan. De meeste muren waar nu formules op staan, vonden we via de Stichting Tegen-Beeld, die ook de Leidse muurgedichten verzorgt. Zij hebben een enorm netwerk in de stad, van mensen met muren.’
Van der Molen: ‘Ze kenden bijvoorbeeld de eigenaar van het pand op ‘t Gerecht, waar sinds kort de formule voor elektronenspin staat, en die wilde dolgraag iets teruggeven aan de stad.’
‘Komende woensdag houden we een bijeenkomst om te vieren dat we inmiddels zes muurformules in Leiden hebben. Martijn van Calmthout, de wetenschapsjournalist die ons op het idee bracht om met de muurformules te beginnen, komt een praatje houden. Wethouder Robert Strijk zal dan de website www.muurformules.nl officieel openen. Hij regelde geld voor vijf formules, als wij de financiering zouden regelen voor twee andere.’
Verkocht
Van der Molen: ‘Een formule kost ongeveer 1500 euro. Het idee verkocht zichzelf: binnen een week hadden we het geld bij elkaar. Er zijn in Leiden twee natuurkunde-stichtingen, de Gorterstichting en de Lorentz-stichting, en die omarmden het idee.’
Van Vulpen: ‘Ook de faculteit der wiskunde en natuurwetenschappen was enthousiast. “We moeten ook meedoen”, zeiden ze. De samenwerking tussen wetenschap en stad ging heel natuurlijk. Uiteindelijk moet er ook een rondleiding komen. Studenten wetenschapscommunicatie gaan een app maken met beelden en uitleg, over zowel de muurgedichten als de formules.
‘We hebben het zelf niet gedaan, maar op de Wikipedia-lemma’s van die formules staan foto’s van onze muurformules. Niet alleen de Nederlandse, maar in allerlei talen. Honderdduizenden mensen kunnen ze zo zien. Echt waanzinnig, vinden we dat.’
Onthulling Leidse muurformules
22 november, Academiegebouw
14:00 wandeling langs de drie nieuwste formules
15:30 Bijeenkomst met lezingen over Lorentzcontractie, de Oortconstanten en elektronenspin
Waar? Op de voorgevel van Museum Boerhaave, aan de Lange Sint Agnietenstraat.
Wie? Albert Einstein (1879 – 1955), natuurkunde-icoon en jarenlang bijzonder hoogleraar aan de Universiteit Leiden.
Wat? Eigenlijk is het een compleet stelsel van vergelijkingen, want die μ en die ν kunnen elk de waarde 1,2, 3 of 4 hebben. Einstein had door dat tijd en ruimte eigenlijk bij elkaar horen, en dat ruimtetijd vervormd wordt door objecten met massa. Als iets echt verrekte zwaar is, zoals de aarde, vervormt het de ruimtetijd genoeg dat andere objecten er ook echt naartoe vallen. De linkerkant van de formule beschrijft de mate van vervorming, en de rechterkant beschrijft het vervormende object, bijvoorbeeld een zwart gat of een sterrenstelsel.
Plaatje? Die witte bol stelt zo’n vervormend object voor. Het is zo zwaar dat het licht dat er langs reist, een klein beetje wordt afgebogen op haar pad. Einsteins vergelijkingen voorspellen heel nauwkeurig hoe groot die afbuiging is.
Nog wat? De hoofdletter lambda (Λ) is de zogeheten ‘kosmologische constante’. De Leidse sterrenkundige Willem de Sitter was gaan rekenen aan een eerdere versie van deze veldvergelijking, en kwam tot de conclusie dat die formule betekende dat het heelal uitdijt. Om daarvoor te corrigeren voegde Einstein een extra factor toe, wat een beetje gênant was toen later bleek dat het heelal inderdaad uitdijt. Jarenlang hebben astrofysici dat stukje van de vergelijking weggelaten, maar tegenwoordig heeft de lambda hernieuwde aandacht. Het heelal lijkt steeds sneller uit te dijen, en de bijbehorende sommetjes zijn alleen kloppend te krijgen door dit stukje van Einsteins vergelijking weer toe te voegen.
Waar? Op dat stukje Hooigracht dat eigenlijk geen Hooigracht heet maar St-Jorissteeg, boven de winkel van Karels Biofriet.
Wie? Willebrord Snel van Royen (1580-1626), Leids humanist, wis-, taal-, sterren- en natuurkundige.
Wat? Als je een rietje in je drinken steekt, of je been in het zwembad, lijkt er een knik in te komen. Dat komt doordat licht met een andere snelheid door de lucht reist dan door vloeistoffen. De formule van Snellius beschrijft hoe de verhouding tussen de hoek van inval θ1 en die van uitval θ2 (of eigenlijk: de verhouding tussen de sinussen van die hoeken) afhangt van de eigenschappen van de twee materialen waar het licht doorheen gaat. Die eigenschap heet de brekingsindex, in het plaatje aangegeven met een n1 voor de lucht, en n2 voor het water.
Plaatje? De uitleg hierboven laat zich wiskundig opschrijven als
Dat is, zoals u nog weet van de wiskunde uit de brugklas, precies het zelfde als het
n1 Sin θ1 = n2 Sin θ2
dat op de muur staat.
Nog wat? De Fransen noemen dit niet de wet van Snellius maar de wet van Descartes, die zijn brekingswet overigens ook in Leiden publiceerde, maar een paar jaar later. Zoals met bijna alles in de klassieke optica was de eigenlijke ontdekking al honderden jaren eerder gedaan door een Arabier, in dit geval Ibn Sahl.
Lorentz-contractie (Foto: Hielco Kuipers)
Waar? Langs het spoor tussen Leiden Centraal en Leiden Lammenschans, voor niet-treinreizigers het beste te zien vanaf de Haagweg.
Wie? Hendrik Antoon Lorentz, het grote idool van Albert Einstein
Wat? Natuurkundigen leggen dit concept meestal uit aan de hand van een treinreis, vandaar de locatie. Voor een waarnemer die beweegt (in een trein, bijvoorbeeld), zien de stilstaande dingen buiten er ietsje anders uit. De lengte die je ziet (L) hangt af van de eigenlijke lengte van het voorwerp (L0), maal een factor die bepaald wordt door de snelheid van de reiziger (v) in het kwadraat, gedeeld door de lichtsnelheid (c) in het kwadraat. Omdat je onmogelijk harder kunt dan de lichtsnelheid, is die factor dus altijd groter dan nul, en zie je de dingen buiten je voertuig dus een beetje samengeperst in de richting van je reis: ze hebben contractie ondergaan. De stoeltjes en passagiers in je met-bijna-de-lichtsnelheid-reizende trein zien er voor jou nog hetzelfde uit, maar de koeien buiten zien de trein als gecontraheerd.
Omdat de meeste treinen, en zeker die tussen Leiden Centraal en Lammenschans, aanzienlijk langzamer rijden dan het licht, merk je daar in de praktijk niet zoveel van. Dit is een zuiver hypothetisch gedachtenexperiment zolang het om supersnel reizende treinen gaat, maar de resultaten van sommige botsingen in deeltjesversnellers zijn alleen maar te verklaren als je aanneemt dat de deeltjes die bol zijn in rust, een pannenkoekvorm hebben als ze met hoge snelheid op iets anders vliegen.
Plaatje? Het originele ontwerp voor deze afbeelding is gemaakt door de Leidse natuurkunde-hoogleraar Carlo Beenakker. Omdat de treinen zowel naar links als naar rechts kunnen reizen, is het plaatje vervolgens symmetrisch gemaakt.
Nog wat? De latere opvolger van Lorentz in Leiden, Paul Ehrenfest, bedacht in 1909 een paradox over dit verschijnsel. Stel je een cirkel voor die met een heel hoge snelheid om zijn as draait. De straal van de cirkel staat haaks op de bewegingsrichting, en vervormt dus niet. De omtrek contraheert wel. Maar dat kán helemaal niet, want de omtrek van de cirkel wordt bepaald door de straal. Dit is een probleem waar een hoop natuurkundigen zich over hebben gebogen. Een van hen was Albert Einstein, die uiteindelijk mede hierdoor op zijn algemene relativiteitstheorie uitkwam.
De Oortconstanten
Waar? Aan de Witte Singel. Als je met je linkerschouder naar de formule staat, kijk je recht naar de Sterrewacht waar de verzinner werkte.
Wie? Jan Hendrik Oort (1900 -1992). Pionier van de radio-sterrenkunde, en degene die bedacht dat de Oortwolk moest bestaan. Won ook ooit de oude vier op de Varsity.
Wat? De meeste sterren zitten samen in grote groepen, zogeheten sterrenstelsels. Ons eigen sterrenstelsel heet de Melkweg. Sterren hebben vrij veel massa en trekken elkaar dus aan: de reden dat niet alle sterren in een stelsel samen vallen tot één grote klont is dat sterrenstelsels draaien. Dezelfde kracht die ervoor zorgt dat de draaiende deegklomp van een pizzabakker steeds breder wordt, werkt tegen de zwaartekracht in.
De waarden A en B zijn meetbare eigenschappen van onze Melkweg, en hangen af van de draaisnelheid (V0) en de afstand van de zon tot het midden van de Melkweg (R0). Dat dv/dr (R0) beschrijft de verandering van de snelheid van de sterren in de buurt. Hoe verder je van het centrum van de Melkweg af zit, hoe langzamer je buursterren lijken te gaan. Als je A en B eenmaal hebt bepaald (zoals Oort deed), dan kun je uitrekenen hoe lang de zon over een rondje Melkweg doet: meer dan 200 miljoen jaar.
Plaatje? Een schematische weergave van de Melkweg. U bevindt zich grofweg halverwege op één van de armen van de spiraal.
Nog wat? De draaisnelheid van sterrenstelsels verandert dus afhankelijk van de afstand tot het midden. Dat gebeurt echter niet op de manier die je zou verwachten op basis van de theorie. Dus òf de zwaartekracht werkt heel anders op deze schaal, òf die sterrenstelsels zijn veel zwaarder dan ze op het oog lijken. Hij (en de meeste sterrenkundigen, nog steeds) ging uit van het laatste: er moet dan een soort donkere materie bestaan, waar de rest van de massa in zit. Inmiddels zijn we 85 jaar verder, en weten we nog steeds niet wat die donkere materie dan precies zou moeten zijn.
Waar? Op ’t Gerecht, op de voorgevel van een woonhuis.
Wie? De toen nog piepjonge Leidse fysici Sam Goudsmit (1902-1978) en George Uhlenbeck (1900-1988).
Wat? Bij scheikunde op de middelbare school leer je dat elektronen een soort balletjes zijn die als manen om een grote bol, de atoomkern, heen draaien. In werkelijkheid klopt er niet zoveel van dat beeld, maar als je doet alsóf een elektron wel een bolletje is, en alsof dat bolletje om zijn as kan draaien, vallen ineens allerlei raadsels uit de quantummechanica op hun plaats. Die draaiing heet ‘spin’ en kan twee richtingen hebben: in de formule op de muur aangegeven met een minnetje of het ontbreken van een minnetje.
De hoeveelheid spin is niet traploos verstelbaar: hij kan alleen bepaalde waardes hebben. Het is 'gequantiseerd' in natuurkundetermen. Een zo’n minimaal stapje quantum wordt in de natuurkunde omschreven door de constante van Planck (h). Een h met een streepje erdoor geeft aan dat je de h moet delen door twee maal pi.
Plaatje: Natuurkundigen zeggen dat een spin ‘up’ of ‘down’ kan zijn, op deze afbeelding draaien de bollen ‘linksom’ of ‘rechtsom’. Dat is niet fout: omdat een elektron eigenlijk geen bol is, is de precieze richting van de spin niet betekenisvol.
Nog wat? Natuurkundestudenten die moeten rekenen aan elektronenspin krijgen een iets grotere formule: dan staat er nog een stukje achter de ? dat elk quantumstapje spin definieert.
Waar? In de Groenesteeg, op de zijkant van restaurant De Hooykist.
Wie? Diezelfde Lorentz als van de Lorentz-contractie, hierboven.
Wat? Een magneetveld oefent een kracht uit op een bewegend deeltje met een elektrische lading. Die kracht (F) kan het deeltje versnellen, vertragen, of afbuigen. De hoeveelheid Lorentz-kracht hangt af van de lading (q), de snelheid (v), en de kracht van het magneetveld (B). Als er een elektrisch veld E is, versnelt dat het deeltje ook. Geladen deeltjes uit de ruimte worden bijvoorbeeld afgebogen door het magnetisch veld van de aarde, en daarom zie je aurora’s alleen in de buurt van de Noord- en de Zuidpool. Allerlei andere verschijnselen, van de evolutie van sterren tot de werking van ouderwetse televisies, zijn ook op de Lorentz-kracht gebaseerd.
Plaatje? In de afbeelding is het rode bolletje een geladen deeltje dat recht omhoog beweegt met snelheid v. Het magneetveld B zorgt ervoor dat er een Lorentz-kracht wordt uitgeoefend op het deeltje, en daardoor gaat het niet meer recht omhoog, maar volgens de stippellijn.
Nog wat? De Lorentz-kracht werkt dus niet in de richting van het magneetveld, maar juist haaks daarop. Hendrik Lorentz zelf woonde aan de Hooigracht, tegenover waar nu de Hooykist zit.
Door Bart Braun